هدف سوال تبدیل فرکسیون به حاصل ضرب و سادهسازی عبارت زیر است:
\[
\frac{y^a - y^b}{y^b - y}
\]
ابتدا صورت و مخرج را تحلیل میکنیم:
1. **صورت**:
\[ y^a - y^b \]
میتوان از فاکتورگیری استفاده کرد:
\[ y^b(y^{a-b} - 1) \]
2. **مخرج**:
\[ y^b - y \]
که میتوان آن را به این صورت نوشت:
\[ y(y^{b-1} - 1) \]
حال عبارت به این صورت تبدیل میشود:
\[
\frac{y^b(y^{a-b} - 1)}{y(y^{b-1} - 1)}
\]
سادهسازی:
در هر دو صورت و مخرج میتوان یک \( y^b \) از صورت و یک \( y \) از مخرج خارج کرد، به شرطی که \( y \neq 0 \):
\[
= y^{b-1} \cdot \frac{y^{a-b} - 1}{y^{b-1} - 1}
\]
این رابطه نهایی است که به صورت حاصل ضرب و سادهتر بیان شده است.
**نکته:** این سادهسازی زمانی معتبر است که همه مقادیر به
